上海格致中学2018-2019学年高中一年级上学期期中考试数学考试试题
1、选择题（本大题共5小题，共21.0分）
，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（） C. F肯定是奇数，G肯定是偶数 D. F可能是偶数，G可能是奇数
C. 充要条件 D. 既不充分也非必要条件
”的（） C. 必要不充分条件 D. 既不充分又非必要条件
（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；
（2）命题“假如A∩B=A，那样A∪B=B”是真命题；
（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．
那样其中正确的说法有（）
的概念域为______． 
的解集为______． 
，则f（1）=______． 
在第三象限内，则实数a的取值范围是______． 
的所有解集区间的长度和为______． 
，且A⊆B，求实数a的取值范围．（1）求f（x）
（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤
．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不一样的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；
（2）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】
={x|
，x∈N}={4，5，6，7，8，9}，集合B={x||x|≤5，x∈Z}={x|-5≤x≤5，x∈Z}={-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5}，
∴A∪B={-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
∴集合A∪B中的元素个数为15．
故选：C．
先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B，从而能求出求结果．
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集概念的合理运用．
【分析】
可得f（0）=0，奇函数的图象关于原点对称，所以函数的零点个数肯定是奇数个．
g（x）是概念在R上的偶函数．函数的图象关于y轴对称，g（0）可能为0，所以函数的零点个数可能为奇数个．
故选：A．
借助函数的奇偶性，判断函数的零点个数，判断选项即可．
本题考查函数的零点个数的判断，是基础题．
【分析】
∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．
故选：C．
通过集合的包括关系，与充分条件和必要条件的判断，推出结果．
本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．
【分析】
”⇔（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，⇔x1-x2与f（x1）-f（x2）同号．∴对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“
”的充要条件．故选：B．
由“
”⇔（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，⇔x1-x2与f（x1）-f（x2）同号．借助增函数的概念即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、充要条件的断定办法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
【分析】
对于（2）命题“假如A∩B=A，那样A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；
对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．
依据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，
当x=1且y=2，有x+y=3成立．
但x+y=3时，譬如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．
∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．
即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．
故选：C．
借助否命题的形式判断（1）的正误；集合关系判断（2）的正误；充要条件判断（3）的正误；
本题考查命题的真伪的判断与应用，充要条件与集合的关系四种命题的关系，考查入门知识的应用，是基础题．
【分析】
即x＞-1，
故函数的概念域为（-1，+∞），
故答案为：（-1，+∞）
依据函数成立的条件，即可求出函数的概念域．
本题主要考查函数概念域的求法，依据函数成立的条件是解决本题的重点．
【分析】
解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，
∵M={0，1，2}，
∴M∩N={1，2}，
故答案为：{1，2}
求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练学会交集的概念是解本题的重点．
【分析】
得，，解得0＜x＜1，
所以不等式的解集是（0，1），
故答案为：（0，1）．
由一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法，求出不等式的解集．
本题考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法的应用，是基础题．
【分析】
∴B⊂A，
∴
，解得x=0．故答案为：0．
由已知得B⊂A，由此借助集合中元素的性质能求出结果．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集概念的合理运用．
【分析】
可得B⊊A，
即有x2=4或x2=x，
解得x=±2或0或1，
检验x=-2舍去，x=1也不成立．
则x=0，2成立．
故答案为：0或2．
由题意可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解出x，分别检验，即可得到所求x的值．
本题考查集合的包括关系，与集合的补集，考查判断能力，是基础题．
【分析】
∴f（-1）=-f（1），
∵当x＜0时，f（x）=x2-
，∴f（1）=-f（-1）=-（1+1）=-2．
故答案为-2．
借助函数是奇函数，得到f（-1）=-f（1），借助f（1）和f（-1）的关系进行求值．
本题主要考查函数奇偶性的应用，借助函数的奇偶性将f（1）转化为f（-1）是解决本题的重点，比较基础．
【分析】
若g（2）=f（2）+8a+2=6，则f（2）+8a=4．
∴g（-2）=f（-2）-8a+2=-f（2）-8a+2=-4+2=-2，
故答案为：-2．
由条件求得f（2）+8a=4，再依据g（-2）=-f（2）-8a+2 求得结果．
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，是基础题．
【分析】
在第三象限内，∴
，则
，解得
，∴实数a的取值范围是
，故答案为：
．由第三项象限点的特征列出不等式组，化简后求出解集，可得实数a的取值范围．
本题考查了分式不等式的化简及求解，是基础题．
【分析】
N={y|ay+2=0，a∈R}={-
}，∵M∩N=N，∴N⊂M，
∴-
没有，或-=-3，或-
，解得a=0或a=
或a=-1，∴集合A={-1，0，
}，∴A的子集有23=8个．
故答案为：8．
求出集合M={-3，2}，N={-
}，由M∩N=N，得N⊂M，从而-没有，或-=-3，或-，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数．本题考查集合的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
【分析】
得
，化简得
，即
，等价于（x-2）（x-8）x（x+2）＜0，如图所示：
由图可得，不等式的解集是（-2，0）∪（2，8），
∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，
故答案为：8．
将分式不等式右侧化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．
本题考分数查询式不等式的化简、及等价转化，与穿根法的应用，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．
]【分析】
∴方程x2+ax+b=0的两个实数根为-3和-1，
由根与系数的关系得：a=4，b=3，
故bx2+ax+1≤0可化为：3x2+4x+1≤0，
解得-1≤x≤-
；所求不等式bx2+ax+1≤0的解集为[-1，-
]．故答案为：[-1，-
]．依据不等式与对应方程的关系，借助根与系数的关系求出a、b的值，再求不等式bx2+ax+1≤0的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与对应二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题目．
【分析】
+3，化为：≥0，解得
≥3，即ab≥9．当且仅当a=b=3时取等号．则ab的最小值为9．
故答案为：9．
a、b为正实数，可得a+b+3=ab≥
+3，化为：≥0，解出即可得出．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
【分析】
∴
=1．则x+2y=（x+2y）
=5+
+≥5+2×
=9，当且仅当x=y=3时取等号．因此x+2y的最小值为9．
故答案为：9．
正数x、y满足：2x+y-xy=0，可得
=1．再借助“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
【分析】
（1）a=1；（2）b≠1； （3）c=3；（4）d≠4有且只有一个是正确的，
假设只有（1）正确，则a=1，b=1，矛盾，故（1）错误；
假设只有（2）正确，则a≠1，b≠1，c≠3，d=4，
满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（3，2，1，4），（2，3，1，4）；
假设只有（3）正确，则a≠1，b=1，c=3，d=4，
满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（2，1，3，4）；
假设只有（4）正确，则a≠1，b=1，c≠3，d=4，
满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（3，1，2，4）．
综上，符合亲件的有序数组（a，b，c，d）的个数是4．
故答案为：4．
假设只有（1）正确，则a=1，b=1，矛盾；假设只有（2）正确，则a≠1，b≠1，c≠3，d=4；假设只有（3）正确，则a≠1，b=1，c=3，d=4；假设只有（4）正确，则a≠1，b=1，c≠3，d=4．由此能求出符合亲件的有序数组（a，b，c，d）的个数．
本题考查满足条件的有序数组的个数的求法，考查元素与集合的关系、集合相等的概念等入门知识，考查运算求解能力，是基础题．
≤1，化为：
≤0，解得-2≤x≤3，即B=[-2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0合适题意．
a＞0时，A=[2-a，2+a]，A⊆B，∴-2≤2-a，2+a≤3，a＞0，解得0＜a≤1．
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，1]．
【分析】
由
≤1，化为：
≤0，可得B=[-2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0合适题意．a＞0时，A=[2-a，2+a]，依据A⊆B，即可得出．本题考查了不等式的解法、集合之间的关系，考查了分类讨论办法、推理能力与计算能力，是中档题．
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，
∴
，解得
或（不合题意舍去）；∴f（x）=4x+1；
（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，
是二次函数，开口向上，且对称轴为x=-
，①当-
≤1，即m≥-
时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，令g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合题意；
②当-
＞1，即m＜-时，g（x）max=g（1）=5+5m=13，解得m=
，不符合题意；由①②可得m=-2．
【分析】
（1）依据题意设f（x）=ax+b，（a＞0），借助f[f（x）]=16x+5求出a、b的值即可；
（2）求出g（x）分析式，知g（x）是二次函数，开口向上，对称轴为x=-
，讨论-
≤1和-＞1时，求出g（x）max，得出对应m的值．本题考查了函数分析式的应用与二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．
①，或
②．解①求得1≤x≤
，解②求得 0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，
]．（Ⅱ）证明：
由g（x）=16x2-8x+1≤4，求得-
≤x≤
，∴N=[-
，]，∴M∩N=[0，
]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1-x，
∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=
-
≤，故要证的不等式成立．
【分析】
（Ⅰ）由所给的不等式可得
①，或
②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，
]．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左侧化为-
，显然它小于或等于，要证的不等式得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，是中档题．
∴△=4a2-4×（-2）（a+1）=4（a+1）2+4＞0恒成立，
∴函数f（x）的图象与x轴恒有两个不一样的交点A、B，
设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=2a，x1x2=-2（a+1），
则|AB|2=（x1+x2）2-4x1x2=4（a+1）2+4≥4（当且仅当a=-1时取等号），
∴|AB|min=2．
（2）解：若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，
则x2-2ax-2（a+1）+3=x2-2ax-2a+1≥0（x＞-1）恒成立，
离别参数a得：2a（x+1）≤x2+1（x＞-1）恒成立，
∵x＞-1，∴x+1＞0，∴2a≤（
）min，∵
=x+1+
-2≥2-2=2-2，∴（
）min=2-2，∴a≤
-1．【分析】
（1）借助△=4（a+1）2+4＞0恒成立，可证得：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不一样的交点A、B，设A（x1，0），B（x2，0），借助韦达定理知x1+x2=2a，x1x2=-2（a+1），可求得|AB|2≥4，从而可得此两交点之间距离的最小值；
（2）依题意，可离别参数a，得到2a≤（
）min，借助基本不等式可求得（）min=2
-2，于是可求实数a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，着重考查二次函数的性质的应用，离别参数a，借助基本不等式求得（
）min=2-2是重点，是难点． 若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则t=x2-mx-m在（1，+∞）上为增函数，且t=x2-mx-m＞0恒成立，
则有
，解可得m≤，即m的取值范围为（-∞，
]．【分析】
依据题意，设t=x2-mx-m，则y=lgt，由复合函数的单调性判断办法与函数的概念域剖析可得
，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的性质与应用，涉及复合函数的单调性，是基础题．
